椭圆运动方程

假设逆时针椭圆运动，LRL矢量\(A\)作为极轴

几何参数

已知半长轴\(a\)，离心率\(e\)以及周期\(T\)

1. 计算任意时刻平近点角\(M_t=\frac{2\pi}{T}t\)
2. 计算任意时刻偏近点角\(E_t\)，解开普勒方程\(M_t=E_t-e\sin(E_t)\)得到
3. 计算任意时刻真近点角\(\theta_t\)，解方程\(tan(\frac{E_t}{2})=\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}tan(\frac{\theta_t}{2})\)得到
4. 计算任意时刻极径长度\(r_t=a(1-e^2)\frac{1}{1+e\cos(\theta_t)}\)
5. 任意时刻的坐标\(\vec{p}_t=(r_t,\theta_t)\)

力学参数

已知平方反比有心力\(\vec{F}=-km\frac{\vec{r}}{r^3}\)，角动量\(\vec{L}\)，系统能量\(E\)

计算LRL矢量的模：

\[\begin{aligned} A^2=\vec{A}\cdot\vec{A}&=(\vec{p}\times\vec{L}-km^2\frac{\vec{r}}{r})\cdot(\vec{p}\times\vec{L}-km^2\frac{\vec{r}}{r})\\ &=(\vec{p}\times\vec{L})\cdot(\vec{p}\times\vec{L})-\frac{2km^2}{r}\vec{r}\cdot(\vec{p}\times\vec{L})+\frac{k^2m^4}{r^2}\vec{r}\cdot\vec{r}\\ &=p^2L^2-\frac{2km^2L^2}{r}+k^2m^4\\ &=2mEL^2+\frac{2km^2}{r}L^2-\frac{2km^2L^2}{r}+k^2m^4\\ &=2mEL^2+k^2m^4\\ \end{aligned}\]

计算椭圆方程：

\[\begin{aligned} \vec{A}\cdot \vec{r}&=\vec{r}\cdot(\vec{p}\times\vec{L}-km^2\frac{\vec{r}}{r})\\ &=L^2-km^2r=Ar\cos(\theta)\\ r&=\frac{L^2}{km^2}\frac{1}{1+\frac{A}{km^2}\cos(\theta)} \end{aligned}\]

1. 计算离心率\(e^2=\frac{A^2}{k^2m^4}=1+\frac{2EL^2}{k^2m^3}\)
2. 计算半长轴\(a=\frac{L^2}{km^2}\frac{1}{1-e^2}=-\frac{km}{2E}\)
3. 计算周期\(T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{k}}=2\pi\sqrt{-\frac{k^2m^3}{8E^3}}\)
4. 用上述几何参数求解任意时刻坐标

根据几何参数反推

中心天体性质\(k=\frac{4\pi^2a^3}{T^2}\)

绕行天体转动惯量\(I=\frac{2\pi}{T}a^2(1-e^2)\)